在确界存在定理的证明（课本上有详细证明过程）的基础上，可知有界数集必存在上、下确界，再用反证法证明。
1、设数集S的上界为U，α、β为实数集S的两个上确界，则α∈U,β∈U。∃M∈U,则必有α≤M,β≤M。
若α<β，如果M=α∈U，则M<β,与β≤M矛盾。
若α>β，如果M=β∈U，则α>M,与α≤M矛盾。
则必有α=β，可证上确界相同，为唯一值 。
也可以设α、β、A、B、C……为实数集S的上确界，选取其中任意两个，重复上述过程，很容易证明α=β=A=B=C=……，即非空有界数集的上确界是唯一的。
同理可证非空有界数集的下确界是唯一的。
2、设数集S的上界为U，α、β为实数集S的两个上确界，则必有：
①∀x∈S，有x≤α，x≤β。
② ∀ε>0,∃x∈S,使得x>α-ε，x>β-ε。
若α<β，当取ε=β-α >0，则有x+ε≤α+ε=β,即x≤β-ε，则与②矛盾。
若α>β，当取ε=α-β >0，则有x+ε≤β+ε=α,即x≤α-ε，则与②矛盾。
故α=β，可证上确界为为唯一值 ，即非空有界数集的上确界是唯一的。
同理可证非空有界数集的下确界是唯一的。
3、与2类似，不过是ε=（β-α）/2罢了。设数集S的上界为U，α、β为实数集S的两个上确界，则必有：
①∀x∈S，有x≤α，x≤β。
② ∀ε>0,∃x∈S,使得x>α-ε，x>β-ε。
若α<β，当取ε=（β-α）/2 >0，则有x+ε≤α+ε=α+（β-α）/2=（α+β）/2<β,即x<β-ε，则与②矛盾。
若α>β，当取ε=（α-β）/2 >0，则有x+ε≤β+ε=β+（α-β）/2=（α+β）/2<α,即x<α-ε，则与②矛盾。
故α=β，可证上确界为为唯一值 ，即非空有界数集的上确界是唯一的。
同理可证非空有界数集的下确界是唯一的。
有序理论
当且仅当具有上限和下限时，一组实数是有界的。该定义可扩展到任何部分有序集合的子集。请注意，这个更一般的有界概念不符合“大小”的概念。
如果在P中存在一个元素k，则部分有序集合P的子集S被称为界限，使得S中的所有s的k≥s。元素k被称为S的上限。下面和下面的概念绑定的定义类似。
部分有序集合P的子集S如果同时具有上限和下限，则被称为边界，或者等价地，如果它包含在间隔中。注意，这不仅仅是集合S的属性，而是集合S中的一个作为P的子集。
有界的偏序集P（即本身不作为子集）是具有最少元素和最大元素的偏序集。注意，这种有界限的概念与有限大小无关，并且有限的偏序集 P的子集S以P的顺序的限制不一定是有界的偏序集。
R^n的子集S相对于欧几里德距离是有界的，当且仅当它被定义为具有乘积顺序的Rn的子集时。然而，S可能被定义为具有词典序列的的子集，而不是关于欧几里德距离。
一类序数据说是无界的，或者是合法的，当给出任何序数时，总是有一些类的元素大于它。因此，在这种情况下，“无界”并不意味着无限自己，而是作为所有序数的类的子类而无界。