什么是正交？

Question

如题所述

Answer 1

是的，正交与线性无关。

先举例说明线性无关为什么不一定正交，如向量x=(1, 1), y=(1, 0) 两者明显线性无关，但是x·y≠0。

直观地可以这么理解，线性相关可以看成平面上平行的直线，线性无关就是两相交直线。两直线正交，即垂直相交，当然线性无关，然而相交却不一定垂直(正交)。

正交是线性代数的概念，是垂直这一直观概念的推广。作为一个形容词，只有在一个确定的内积空间中才有意义。若内积空间中两向量的内积为0，则称它们是正交的。如果能够定义向量间的夹角，则正交可以直观的理解为垂直。物理中：运动的独立性，也可以用正交来解释。

对于一般的希尔伯特空间， 也有内积的概念， 所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。 特别的， 我们有n维欧氏空间中的正交概念， 这是最直接的推广。

和正交有关的数学概念非常多， 比如正交矩阵、正交补空间、施密特正交化法、最小二乘法等等。

另外在此补充正交函数系的定义：在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。