怎么用柱面坐标算两个底面半径都为R的直圆柱垂直相交所围成的体积?

Question

如题所述

Answer 1

在空间直角坐标系中，任给一点P，设r,θ是点P在xOy面上投影点的极坐标，z是点P的竖坐标，则称(r，θ，z)是点P的柱面坐标，记为P(r,θ,z)，其中r≥0，0≤θ≤2π，-∞<z<+∞ 。

求曲面的柱面坐标方程的方法与步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲面看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲面上点的柱面坐标

和

的关系式表示出来，就得到曲面的柱面坐标方程

。

特别地，方程

表示以

为轴的圆柱面；

表示过

轴的半平面；

表示垂直于

轴的平面，这三组面两两垂直，称为柱面坐标的坐标面，坐标面的交线称为坐标线。从图2可知，空间每一点P总可看作位于某一母线平行于z轴的圆柱面上，并有三条坐标线(过P垂直于z轴的射线、平行于z轴的直线和圆心在z轴且与z轴垂直的圆周)通过，所以把

称为点P的柱面坐标由此而来。 [1] 

图2

当

(常数)时，坐标面为柱面；

当

(常数)时，坐标面为平面；

当

(常数)时，坐标面为半平面(见图3)．

空间中的任意点P的位置由3个参数

给出，其意义如图2所示，

称为柱面坐标。

从其与空间直角坐标系的关系得变换如下，此变换称为柱坐标变换。 

其中

柱坐标的体积微元由6个坐标面围成。

(1)半平面

(2)圆柱面

(3)平面

由于

所以

见图（4）。 

希望我能帮助你解疑释惑。

Answer 2

你可以把你错误的求解过程拍出来帮你指正