累次极限与二重极限有何区别？

Question

如题所述

Answer 1

二重极限是任意方向趋近，累次极限可以看成是其中两条趋近路线，即先沿X(Y)趋向Y(X)轴，再沿Y(X)轴趋向于原点。举例说明：f(x,y)=x*sin(1/xy)，二重极限存在为0。

二重极限通俗地说,x和y的积分搅和在一起了；而累次极限将两者分开处理（各个击破），先y后x或先x后y，区别主要看积分区域的两边，平行y轴选前者，否则，另外，还要注意积分函数为1的情形。

扩展资料：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。

参考资料来源：百度百科-极限

Answer 2

累次极限和二重极限都是多元函数的极限，但它们的计算方法和意义不同。

对于一个二元函数f(x,y)，当点(x,y)沿着任意路径趋近于点(x0,y0)时，如果f(x,y)的极限值与(x0,y0)的取值无关，那么称f(x,y)在点(x0,y0)处存在二重极限，并记为：

lim(x,y)->(x0,y0) f(x,y) = L

在计算二重极限时，需要考虑所有可能的路径，包括直线路径、抛物线路径、螺旋路径等等。

而累次极限指的是对于一个二元函数f(x,y)，先对其中一个自变量进行极限运算，得到一个函数g(y)，然后对g(y)进行单元极限运算，即：

lim(x->x0) lim(y->y0) f(x,y) = lim(y->y0) (lim(x->x0) f(x,y))

或者

lim(y->y0) lim(x->x0) f(x,y) = lim(x->x0) (lim(y->y0) f(x,y))

这里的x0和y0是常数，而不是一个点。这个过程中，先对自变量x求极限得到一个函数g(y)，再对g(y)进行单元极限运算，得到最终的极限值。

需要注意的是，对于一些特定的函数，二重极限和累次极限可能会存在或者不存在，存在时它们的值也可能相等或者不相等。因此，在计算极限时，需要根据具体的函数和定义来判断正确的计算方法。