求二元函数的极值

Question

如题所述

Answer 1

求二元函数的极值如下：

解方程组f(xy)=0f(xy)=0求出实数解，从而得驻点，第二步对于每一个驻点(xoyo)，求出二阶偏导数的值A、第三步定出AC-B2的符号，再判定是否是极值。

首先求临界点:

对于一个多元函数f，如果有一个点满足f所有自变量的偏导都同时为0，那么这个点被称为f的临界点，也称为驻点。

例:求f(xy)=x2-2xy+3y2+2x-2y只有一个临界点(-10)，接着判断临界点的类型:临界点可能是极大值点、极小值点或者鞍点(或者什么都不是);

f(xy)的一个临界点是(x0 y0)，即fx(x0 y0)=0 && fy(x0 y0)=0，f的二阶导数是fxxfxyfyy，令A=fxx(x0y0)B=fxy(x0y0)C=fyy(x0y0)

拓展:二元函数对于f关于集合D一致连续那么对于任意给定的>0，存在某一个正数，对于D上任意一点PO，只要P在PO的δ邻域与D的交集内，就有f(P0)-f(P)<E。

f在P0点可微那么△z=f(x0+△x，y+△y)-f(x0，y0)=A△x+B△y+o(p)，其中A，B是仅与PO有关的常数，p=〔(△x)^2+(y)^2〕^0.5.o(p)是较p高阶无穷小量，即当p趋于零是o(p)/p趋于零。

可微的充要条件是曲面z=f(x，y)在点P(x0，y0，f(x0，y0))存在不平行于z轴的切平面П的充要条件是函数f在点PO(x0，y0)可微。