数列极限怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

数列极限的求法一般有以下几种方法：
定义法：利用数列极限的定义，求出数列的极限。
性质法：利用数列的某些性质，如单调有界定理、夹逼定理等，求出数列的极限。
四则运算法：利用数列的四则运算性质，将数列的项进行化简或变形，再根据定义或性质求出数列的极限。
等差数列和等比数列的极限：对于等差数列和等比数列，可以直接根据其定义求出数列的极限。
利用极限的运算法则：根据极限的运算法则，可以将数列的项进行化简或变形，再根据定义或性质求出数列的极限。
夹逼定理法：利用夹逼定理，找到一个与所求数列类似的序列，使得该序列的极限等于所求数列的极限。
海涅定理法：利用海涅定理，将无穷数列转化为有限个序列，再利用定义或性质求出数列的极限。
柯西收敛准则：对于任意给定的正整数n，如果存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的项都落在给定的范围内，则称该数列收敛于给定的值。以上是几种常见的求数列极限的方法，具体使用哪种方法取决于具体的问题和所给的条件。

Answer 2

概念法：存在一个正数ε，当n>N时，|an-M| < ε恒成立 。

定理法：单调且有界数列必存在极限；夹逼准则；数学归纳法。

函数法：将数列的通项公式构成成函数，利用对函数求极限来判定数列的极限，要和夹逼准则或者概念法一起使用 。

极限的具体定义如下：

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。

性质

唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；

有界性：如果一个数列{Xn}收敛（有极限），那么这个数列{Xn}一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，-1，1，-1，……（-1）^n+1，……

和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{Xn}，{Yn}都收敛，那么数列{Xn+Yn}也收敛，而且它的极限等于{Xn}的极限和{Yn}的极限的和。