计算，X趋向于0时，[lim∫sintln(1+t)dt-1/3X^3+1/8x^4]/(X-sinx)(e^x^2-1)，分子的定积分取值范围是0到X

Question

如题所述

Answer 1

lim(x->0) {∫[0,x] sintln(1+t)dt-1/3X^3+1/8x^4]} /(x-sinx)(e^x^2-1)

【首先用Taylor公式: x-sinx = x^3/3!+o(x^3) ,e^(x^2) -1= x^2+o(x^2) 】
=lim(x->0) {∫[0,x] sintln(1+t)dt-1/3X^3+1/8x^4]} /(x^3/3!+o(x^3))(x^2+o(x^2))

【等价无穷小替换：(x^3/3!+o(x^3))(x^2+o(x^2))=(x^5/6+o(x^5)) ~ x^5/6 】
= 6*lim(x->0) {∫[0,x] sintln(1+t)dt-1/3X^3+1/8x^4]} /x^5

【罗必塔法则，变动上限求导】
= 6*lim(x->0) {sinxln(1+x)- x^2+1/2*x^3 }/5x^4

【用Taylor公式:sinxln(1+x)=(x-x^3/3!+o(x^3))(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3))=x^2-x^3/2+x^4/6+o(x^4)】
= 6/5*lim(x->0) {x^4/6 +o(x^4) }/x^4
=1/5

Answer 2

首先对分子分母求导：得
[sinxln(1+x)-x^2+x^3/2]/[(1-Cosx)(e^x^2-1)+2xe^x^2(x-Sinx)]
因当X－>0时Sinx->x-x^3/6,LN(1+x)->x-x^2+x^3/3,1-Cosx->x^2/2-x^4/4,x-Sinx->x^3/6,e^x^2-1->x^2+x^4/2
所以得
原式＝[(x-x^3/6)(x-x^2+x^3/3)-x^2-x^3/2]/[(x^2/2-x^4/4)(x^2+x^4/2)+x^3/6(1+x^2+x^4/2)]
=x^4/6/(5x^4/6+o(x^6))
得
原式极限＝1/5

Answer 3

使用罗比达法则，上下求导
原式=x—>0 [sinxln(1+x)-x^2+1/2x^3]/[(1-cosx)(2xe^x^2)] **把等于1的项直接换成1可以简化，如e^x^2、
=x—>0 [cosxln(1+x)+sinx/(1+x)-2x+3/2x^2]/[sinx*2]
=x—>0 [-sinxln(1+x)+cosx/(1+x)+cosx-2+3x]/2cosx
=x—>0 [0+1-2+3x]/2=-1/2

Answer 4

用Taylor公式做

∫sintln(1+t)dt~∫[t-t^3/6+o](t-t^2/2+t^3/3+o]~x^3/3-x^4/8-x^5/30+o
∫sintln(1+t)dt-1/3X^3+1/8x^4 ~ -x^5/30+o

(X-sinx)(e^x^2-1)~(x^3/6+O)*(x^2+x^4/2+o)~x^5/6+o

所以极限值是
lim【(-x^5/30+o)/(x^5/6+o)】=-1/5