帮忙解道高数导数的题

Question

设函数f(x)，g(x)满足f'(x)=g(x),g'(x)=2e^x - f(x),且f(0)=0，g(0)=2，求f(x)。
f''(x)+f(x)=2e^x
{ 解方程组得f(x)=sinx-cosx+e^x
f(0)=0，f'(0)=2
请问这个方程组的解是如何解得的？过程。谢谢！

Answer 1

f'(x)=g(x) -->
g'(x)=f''(x) ,g(0)=f'(0)=2 -->
f''(x)=2e^x - f(x) -->
f''(x)+f(x)=2e^x 【此为二阶线性微分方程，有如下求解过程：】

① 求齐次方程 f''(x)+f(x)=0 通解；
1. 对应特征方程：λ^2+1=0 , 有特解：
λ1= i ， λ2= -i；
2. 齐次方程 f''(x)+f(x)=0 通解为：
y= C1sinx+C2cosx 其中：C1,C2为任意常数；

② 求 f''(x)+f(x)=2e^x 的一个特解：
设方程特解为：
y*=ce^x 其中：c为待定常数；
代人方程，得： ce^x + ce^x = 2e^x ,解得 c=1 , 得 特解 y* = e^x

③ 线性方程 f''(x)+f(x)=2e^x 通解为：
y= C1sinx+C2cosx + e^x

④ 线性方程 f''(x)+f(x)=2e^x 特解
y= C1*sinx+C2*cosx + e^x ，代人 f(0)=0，f'(0)=2 ，解得：
C1=1 ，C2=-1

∴ 线性方程 f''(x)+f(x)=2e^x 特解为：
f(x)=sinx-cosx+e^x

Answer 2

这个好像不能确定，比如f(x)=-cosx+e^x 也可以。
设f(x)=h(x)+e^x,则只要求h''(x)=-h(x),且h(0)=-1就可以了。