如何判断一个数的行列式的值为0？

Question

如题所述

Answer 1

一个矩阵的行列式为0，当且仅当该矩阵的秩小于其维数。换句话说，如果一个矩阵是 n × n 的，且其行列式为0，那么该矩阵的秩小于 n。
对于一个 n × n 矩阵 A，如果它的行列式为0，那么它至少有一行或一列是其它行或列的线性组合。这意味着，该矩阵的行空间或列空间的维度小于 n，因此该矩阵的秩小于 n。
反之，如果一个 n × n 矩阵 A 的秩小于 n，那么它的行空间或列空间的维度小于 n。这意味着，该矩阵至少有一行或一列是其它行或列的线性组合。因此，该矩阵的行列式为0。
因此，判断一个矩阵的行列式是否为0，可以通过计算该矩阵的秩并与其维数进行比较。如果秩小于维数，则行列式为0；否则，行列式不为0。

Answer 2

此行列式为范德蒙行列式
你可以构造
1
1
1
1
a
b
c
d
a^2
b^2
c^2
d^2
a^4
b^4
c^4
d^4
我们利用加行的方法来解决这个问题.
加完行行列式变成5行5列,如下:
1
1
1
1
1
a
b
c
d
x
a^2
b^2
c^2
d^2
x^2
a^3
b^3
c^3
d^3
x^3
a^4
b^4
c^4
d^4
x^4
这就成了标准的范德蒙行列式
利用行列式展开法则,按第5列展开,得到的展开式如下:
A15
+
(-A25)
*
x
+
A35
*
x^2
+
(-D)
*
x^3
+
A55
*
x^4
[其中A为代数余子式,D为前面的四阶行列式的值]
由范德蒙行列式计算公式,得出该五阶行列式的值为:
(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
它和上面的展开式相等，我们所需要的是行列式D的值，所以我们需要算的就是展开式中x^3的系数，所以得出D＝
(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)
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