一、极限的独特性：唯一性
当一个数列 \( (a_n) \) 有极限 \( L \)，即对任意小的 \( \epsilon > 0 \)，存在 \( N \) 使得对于所有 \( n > N \)，有 \( |a_n - L| < \epsilon \)，那么极限是唯一的。用反证法加以证实：
假设 \( L \) 和 \( M \) 都是 \( (a_n) \) 的极限，但 \( L \neq M \)。由于 \( L \) 的定义，存在 \( \delta > 0 \)，使得 \( |a_n - L| \delta \) 当 \( n \) 足够大。同理，对于 \( M \)，存在 \( \delta' > 0 \)，使得 \( |a_n - M| < \delta' \)。取 \( \epsilon = \min(\delta, \delta') \)，则 \( L \) 和 \( M \) 无法同时满足 \( |a_n - L| < \epsilon \) 和 \( |a_n - M| < \epsilon \)，矛盾。
二、极限的有界性
一个数列若存在极限，那么它必然具备有界的特性。证明如下：设 \( L \) 是 \( (a_n) \) 的极限，若 \( L \) 有限，我们可以假设 \( L \leq M \)。存在 \( N \)，当 \( n > N \)，有 \( |a_n - L| < M - L \)，这表明 \( a_n \) 也在 \( [L, M] \) 内，从而 \( (a_n) \) 是有界的。
三、极限的保序性与保号性
当数列 \( (a_n) \) 和 \( (b_n) \) 都有极限 \( L \) 和 \( M \)，且 \( a_n \leq b_n \) 对于所有 \( n \)，那么 \( L \leq M \)。证明通过选取 \( \epsilon = \min(L - a_n, b_n - M) \)，得到 \( |a_n - L| \leq \epsilon \) 且 \( |b_n - M| \leq \epsilon \)，因此 \( L \) 小于或等于 \( M \)。同理，若 \( a_n \) 和 \( b_n \) 分别为正数序列，极限同样保持正号。
另一个方向，如果 \( a_n \) 和 \( b_n \) 有极限且 \( a_n \geq b_n \)，那么 \( L \geq M \)。只需重复上述步骤，用 \( \epsilon \) 表示 \( L \) 和 \( M \) 之间的差值，即可得到 \( L \geq M \) 的结论。
四、保号极限的进一步说明
当 \( (a_n) \) 的极限 \( L \) 已知，若 \( a_n \) 在 \( L \) 附近总是非负的，那么存在正整数 \( N \)，当 \( n > N \) 时，\( a_n \) 一直保持非负。证明中，假设 \( L \geq 0 \)，通过构造 \( N \) 和 \( M \) 的关系，确保 \( a_n \) 与 \( L \) 的差值始终非负，从而保证 \( a_n \) 的非负性。
让我们通过一个实例加深理解：若 \( (a_n) \) 对所有 \( n \) 都满足 \( a_n \geq 0 \)，而 \( \lim a_n = L \)，那么 \( L \geq 0 \)，否则 \( L \) 不会是 \( (a_n) \) 的极限。例如，\( a_n = L + \frac{1}{n} \) 就是一个反例，\( L \) 不能严格大于 \( 0 \)。