取模是一种运算方式,其定义如下:
给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 :
n = kp + r ;
其中 k、r 是整数,且 0 ≤ r < p,则称 k 为 n 除以 p 的商,r 为 n 除以 p 的余数。
对于正整数 p 和整数 a,b,定义如下运算:
取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。
取模运算(“Modulo Operation”)和取余运算(“Complementation ”)两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。
模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(1) (a - b) % p = (a % p - b % p) % p
(2) (a * b) % p = (a % p * b % p) % p
(3) a ^ b % p = ((a % p)^b) % p
(4) 结合律: ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p
(5) ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p
(6) 交换律: (a + b) % p = (b+a) % p
(7) (a * b) % p = (b * a) % p
(8) 分配律: ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p
本回答被网友采纳取模是取模运算(“Modulo Operation”)简单说法。
取模主要是用于计算机术语中。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用,从奇偶数的判别到素数的判别,从模幂运算到最大公约数的求法,从孙子问题到凯撒密码问题,无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍,但多数都是以纯理论为主,对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。
概念
定义
给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 :
n = kp + r ;
其中 k、r 是整数,且 0 ≤ r < p,则称 k 为 n 除以 p 的商,r 为 n 除以 p 的余数。
对于正整数 p 和整数 a,b,定义如下运算:
取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。
模p加法: ,其结果是a+b算术和除以p的余数。
模p减法: ,其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法: ,其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
说明:
1. 同余式:正整数a,b对p取模,它们的余数相同,记做 或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3。
基本性质
1、若p|(a-b),则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7), 18 ≡ 4(% 7)
2、(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
3、对称性:a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
4、传递性:若a≡b (% p)且b≡c (% p) ,则a≡c (% p)
水仙花数
水仙花数是指一个 n 位正整数 ( n≥3 ),它的每个位上的数字的 n 次幂之和等于它本身。(例如:1^3 + 5^3+ 3^3 = 153)。
水仙花数只是自幂数的一种,严格来说三位数的3次幂数才成为水仙花数。
附:其他位数的自幂数名字
一位自幂数:独身数
两位自幂数:没有
三位自幂数:水仙花数
四位自幂数:四叶玫瑰数
五位自幂数:五角星数
六位自幂数:六合数
七位自幂数:北斗七星数
八位自幂数:八仙数
九位自幂数:九九重阳数
十位自幂数:十全十美数
假设:取1至1000内的水仙花数,那么其实只有当i>99时才成立,因为水仙花数是由3位数组成。
如果要判断一个三位数是否为水仙花数
根据运算规则,水仙花数是三位数的每个位的数的3次幂,例如999,需要取9,9,9三个数并且三数相乘的合再判断。
程序循环方式:
需要用取余数的整数的方式去完成判断条件:分别从三位数中利用取余去取百位、十位、个位数,加以判断
var a,b,c,d
for(i=1;i<1000;i++){
a = parseInt(i%10); //这一步取到了个位数
b = parseInt(i/10%10); //这一步取到了十位数
c= parseInt(i/100%10); //这一步取到了百位数
d = a*a*a+b*b*b+c*c*c;//水仙花数
if(d==i&&d>99){//比较判断,且是三位数。
alert(d+"是水仙花数") //输出水仙花数。
本回答被网友采纳定义:
给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 :
n = kp + r ;
其中 k、r 是整数,且 0 ≤ r < p,则称 k 为 n 除以 p 的商,r 为 n 除以 p 的余数。
对于正整数 p 和整数 a,b,定义如下运算:
取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。
模p加法: ,其结果是a+b算术和除以p的余数。
模p减法: ,其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法: ,其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
说明:
1. 同余式:正整数a,b对p取模,它们的余数相同,记做 或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3。
基本性质
若p|(a-b),则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7), 18 ≡ 4(% 7)
(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
对称性:a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
传递性:若a≡b (% p)且b≡c (% p) ,则a≡c (% p)
运算规则
模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p (4)
结合律:
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)
交换律:
(a + b) % p = (b+a) % p (7)
(a * b) % p = (b * a) % p (8)
分配律:
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (9)
重要定理
若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(10)
若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(11)
若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),
(a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p); (12)