矩阵如何进行分解？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵分解是将一个矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：1)三角分解法 (Triangular Factorization)，2)满秩分解 (Full-rank Decomposition)，3)QR 分解法 (QR Factorization)。
三角分解法
将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，通常用于解线性方程组。例如，对于矩阵A，可以分解为A=LU，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
满秩分解
将矩阵分解为一个列空间基矩阵和一个行空间基矩阵的乘积。例如，对于矩阵A，可以分解为A=BC，其中B是A的列空间基矩阵，C是A的行空间基矩阵。
QR 分解法
将矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。例如，对于矩阵A，可以分解为A=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
以上三种方法都是常用的矩阵分解方法，选择哪种方法取决于具体的问题和需求。在实际应用中，矩阵分解通常用于降维、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等。