α为n阶单位列向量 ααT的特征值为什么是1,0,0,0…？不应该是n,0,0,0…吗？

Question

如题所述

Answer 1

因 α 为单位向量，ααT 为 n 阶矩阵， 其秩为 1， 其对角元之和即矩阵的迹也为 1，
则其特征值为 1， 0， 0, ......, 0。
例如 α = (cost, sint)^T, ααT =
[(cost)^2 costsint]
[sintcost (sint)^2]
其秩 r(ααT) = 1, 其迹 tr(ααT) = 1， 故特征值为 1， 0.追问

不是全1的矩阵吗？

追答

不是全1的矩阵， 见上补充解答。

Answer 2

补充一下楼上答主的(1)为什么迹为1: 因为 aT*a=1; (2)a*aT为实对称矩阵，则必定相似一个对角阵，也就说明了矩阵a*aT有n个特征值，且秩也等于1，所以对角矩阵的对角元只有一个非零常数。又因为矩阵a*aT的迹等于1，且等于其特征值之和。所以综上也就确定了其特征值为1、0、0、……0
最后再回答一下提主，你说的那个特征值是矩阵(aaT*aaT)的特征值，自己好好想想为什么。