如何判断方程是不是线性？

Question

如题所述

Answer 1

对于一阶微分方程，形如：y'+p(x)y+q(x)=0的称为"线性"。
对于二阶微分方程，形如：y''+p(x)y'+q(x)y+f(x)=0的称为"线性"。
例如：y'=sin(x)y是线性的，但y'=y^2不是线性的。
注意两点：
(1)y'前的系数不能含y，但可以含x，如:y*y'=2
不是线性的；x*y'=2
是线性的。
(2)y前的系数也不能含y，但可以含x，如：y'=sin(x)y
是线性的，y'=sin(y)y
是非线性的。
(3)整个方程中，只能出现y和y'，不能出现sin(y)，y^2，y^3等等，如：y'=y
是线性的；y'=y^2
是非线性的。
形式是ax+by+...+cz+d=0。线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。
扩展资料：
在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是算数式而非方程式。
如果一个一次方程中只包含一个变量（x），那么该方程就是一元一次方程。如果包含两个变量（x和y），那么就是一个二元一次方程，以此类推。
一元线性方程是最简单的方程，其形式为ax=b。因为把一次方程在坐标系中表示出来的图形是一条直线，故称其为线性方程。
参考资料来源：搜狗百科——线性方程

Answer 2

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y'+R(x)y=S(x)
（其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）
无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。
例如y'y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y'-y)=0，即y=0或者y'-y=0，因为y和y'都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。
再如(sinx)y'-y=0，因为y'和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y'的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。
再如y'y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y'和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。
再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

Answer 3

对于一阶微分方程,形如:
y'+p(x)y+q(x)=0
的称为"线性"
对于二阶微分方程,形如:
y''+p(x)y'+q(x)y+f(x)=0
的称为"线性"
例如:
y'=sin(x)y是线性的
但y'=y^2不是线性的
注意两点:
(1)y'前的系数不能含y,但可以含x,如:
y*y'=2
不是线性的
x*y'=2
是线性的
(2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:
y'=sin(x)y
是线性的
y'=sin(y)y
是非线性的
(3)整个方程中,只能出现y和y',不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:
y'=y
是线性的
y'=y^2
是非线性的