不定积分第二类换元法三角代换问题。

不定积分第二类换元法三角代换问题。为什么√a²-x²不需要讨论?而√x²-a²要讨论?(a>0)

一、√(a²-x²) 通常用x=a*sint ,t的范围取-π/2≤t≤π/2,这样可以保证cost恒≥0;或x=a*cost 换元,t的范围取0≤t≤π,这样可以保证sint恒≥0。
二、√(x²-a²)通常用x=a*sect ,∵x²-a² = a²sec²t-a²
= a²(sec²t-1) = a²(sec²t-1) = a²tan²t
sec函数和tan函数的连续区域一致,t的范围取0≤t≤π/2,sect的值从1~+∞,对应tant的值从0~+∞,也可以直接去掉根号,无需讨论正负。
三、总结:只要换元为三角函数后的角度变量取值合适,这两种换元都可以无需讨论去掉根号后的正负问题。
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