200分，矩阵定理证明。关于矩阵乘积的秩 零空间 列空间的证明

Question

证明图片上的几个定理，不理解我就记不住，假如满意我还会追加。假如不是都会，证明其中的一两个就行，我也会给分的 谢谢啦

Answer 1

1
证明r(AA^T)=r(ATA)=r(A)
因为Ax=0，可以推出ATAx=AT(Ax)=0

而且ATAx=0，x^TATAx=x^T(ATAx)=0，
即(Ax)^TAx=x^TATAx=0
所以必然有Ax=0

所以Ax=0<=>ATAx=0
即Ax=0和ATAx=0通解
所以
N(A)=N(A^TA)，
r(A)=r(A^TA)
同理可得
N(A^T)=N(AA^T)，
r(A^T)=r(AA^T)

且AA^T和A^TA互为转置。
所以r(AA^T)=r(ATA)=r(A)

2
证明r(AB)<=min{r(A), r(B)}
因为若x满足Bx=0，必然满足ABx=0
所以ABx=0的解多于Bx=0的解。
所以p-r(AB)>=p-r(B)
所以r(AB)<=r(B)

且若A^T x^T=0
那么B^TA^Tx^T=0
即，若x满足A^T x^T=0, 必然满足B^TA^Tx^T=0
同上，所以r(B^TA^T)<=r(A^T)
且r(AB)=r(B^TA^T)，r(A)=r(A^T)
即r(AB)<=r(A)
综上，r(AB)<=min{r(A), r(B)}

3
r(A)+r(B)-n<=r(AB)
可以参见这个证明
http://zhidao.baidu.com/link?url=qZEjzUBXDK-IruU40C-JDXwCiksqj7NGhyyo-yuHiI1QUY5wGiLebE-9k7W4-fwGpsQdLypJYC637aa0UIS2Yq

4
证明r(AB)=r(B)-dimN(A)∩R(B)
那个dimN(A)∩R(B)表示的是满足AB=0的B的列向量的秩。

证明：
设B=(a1 a2...ap)
不失一般性，设a1a2...ak是Ax=0的解。a(k+1)...ap不满足Ax=0
那么AB=(0,0,0...,Aa(k+1), Aa(k+2), ...Aap)
那么
那么r(B)=r(a1,a2....ak)+r(a(k+1),a(k+2)....ap)
=dimN(A)∩R(B)+r(a(k+1),a(k+2)....ap)
<=dimN(A)∩R(B)+r(AB)

所以r(AB)>=r(B)-dimN(A)∩R(B)

不晓得为什么是>=，不是=追问

N（A）是A的零空间
R（A）是A的列空间

追答

最后那个应该是>=吧，我感觉。
N(A)是不是表示满足Ax=0的x组成的空间？？

追问

对

追答

最后一个想不太明白。sorry，证明的是r(AB)>=r(B)-dimN(A)∩R(B)