大一新生求一题高数极限

Question

求lim（x→0 ）[(a^x+b^x)/2]^(3/x)，a、b均>0，均为常数 要详细解法谢谢

Answer 1

大二学长来教教你~

lim（x→0 ）[(a^x+b^x)/2]^(3/x)

=e^lim（x→0 ）3ln[(a^x+b^x)/2]/x

(因为指数上x->0的时候，ln[(a^x+b^x)/2]->0,分母x->0，所以根据罗比达法则，分子分母分别求导)

=e^lim（x→0 ）3*2/(a^x+b^x)*(lna*a^x+lnb*b^x)

=e^lim（x→0 ）3*(lna*a^x+lnb*b^x)

=e^3(lna+lnb)

=a^3*b^3

Answer 2

a^3/2 * b^3/2

exp{lim 3ln(a^x+b^x)/2 /x}
洛
=exp{lim 3*(lna*a^x+lnb*b^x)/(a^x+b^x)}
=exp{(3lna+3lnb)/2}
=a^3/2*b^3/2

用下洛必达法则就出来了

Answer 3

a^3/2 * b^3/2

原式=exp{lim （x→0 ）3ln(a^x+b^x)/2 /x}.....洛必达
=exp{lim（x→0 ） 3*(lna*a^x+lnb*b^x)/(a^x+b^x)}
=exp{(3lna+3lnb)/2}
=a^3/2*b^3/2

用下洛必达法则就出来了