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求函数的最值问题
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第1个回答 2019-11-18
（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)
f'(x)=[(lnx+1)(x-1)-xlnx]/(x-1)^2
=(x-lnx)/(x-1)^2
>0
所以f(x)在(0,1)∪(1,+∞)单调递增
（Ⅱ）(x-1)f(x)<e^(-x)-kx-1，(0<x<1)
xlnx<e^(-x)-kx-1
kx<e^(-x)-xlnx-1
k<e^(-x)/x-lnx-1/x
令g(x)=e^(-x)/x-lnx-1/x
g'(x)=[-xe^(-x)-e^(-x)]/x^2-1/x+1/x^2
=[1-x-xe^(-x)-e^(-x)]/x^2
令h(x)=1-x-xe^(-x)-e^(-x)，(0<x<1)
h'(x)=xe^(-x)-1
h''(x)=e^(-x)-xe^(-x)=(1-x)e^(-x)>0
所以h'(x)在(0,1)上单调递增，h'(x)<h'(1)=1/e-1<0
所以h(x)在(0,1)上单调递减，h(x)<h(0)=0
所以g'(x)=h(x)/x^2<0，g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)>g(1)=1/e-1
因为对∀x∈(0,1)，k<g(x)恒成立，所以k<=1/e-1本回答被网友采纳
f'(x)=[(lnx+1)(x-1)-xlnx]/(x-1)^2
=(x-lnx)/(x-1)^2
>0
所以f(x)在(0,1)∪(1,+∞)单调递增
（Ⅱ）(x-1)f(x)<e^(-x)-kx-1，(0<x<1)
xlnx<e^(-x)-kx-1
kx<e^(-x)-xlnx-1
k<e^(-x)/x-lnx-1/x
令g(x)=e^(-x)/x-lnx-1/x
g'(x)=[-xe^(-x)-e^(-x)]/x^2-1/x+1/x^2
=[1-x-xe^(-x)-e^(-x)]/x^2
令h(x)=1-x-xe^(-x)-e^(-x)，(0<x<1)
h'(x)=xe^(-x)-1
h''(x)=e^(-x)-xe^(-x)=(1-x)e^(-x)>0
所以h'(x)在(0,1)上单调递增，h'(x)<h'(1)=1/e-1<0
所以h(x)在(0,1)上单调递减，h(x)<h(0)=0
所以g'(x)=h(x)/x^2<0，g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)>g(1)=1/e-1
因为对∀x∈(0,1)，k<g(x)恒成立，所以k<=1/e-1本回答被网友采纳
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