将硬纸箱折成长方体无盖盒,若纸面积一定,问xyz成何比例时,可使盒子容积最大?

Question

如题所述

Answer 1

回答如下：

设纸板一个的边长为a,另一个边长为b,纸箱的长度为x,宽度为y,高度为z,,纸箱的容积为v.

则x=a-2*z,    y=b-2*z   见下图

依题意列出v的表达式

V=x*y* z =(a-2*z)*(b-2*z)*z   （1）

 整理一下变为

V=4*z^3-2*(a+b)*z^2+a*b*z  （2）

这是z的三次方程，找到它的曲线的拐点，就找到了出现最大值的位置。为此第一步：对（2）式求导，得出它的切线方程（3）式； 

V’=12*z^2+4*(a+b)*z+a*b    （3）

第二步：因为曲线拐点处切线的斜率为零，所以  

解方程：12*z^2+4*(a+b)*z+a*b=0

得出 z1=(a+b+√(a^2-a*b+b^2))/6  （4）

z2=(a+b-√(a^2-a*b+b^2))/6  (5)

方程的这两个解z1和z2就是曲线的拐点，就是可能出现最大值的位置。

例如a=12,b=9 分别代入（4)式、（5）式得

     z1=－7.632 9 （舍去）

     z2=81.872

所以（5）式是我们所要的结果.

所以x∶y∶z＝(4*a+b-√(a^2-a*b+b^2))/3  : (a+4*b-√(a^2-a*b+b^2))/3  ∶(a+b-√(a^2-a*b+b^2)/6

注意：次比值不是常数，它随a , b而变。

Answer 2

不好意思没有帮你算出来