如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图像交于

Question

（1）求m的值及这个二次函数的关系式
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A,B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围

Answer 1

解：（1）由题意，A（3，4）、B（0，m）既在直线上，又在抛物线上（由于编辑问题，　　　　　X2表示X的平方）
　　　　　设抛物线Y=aX2＋bX＋m（a＞0）
　　　　　将A（3,4）带入Y＝X＋m，即：4＝3＋m；得出：m＝1
　　　　　所以，Y＝aX2＋bX＋1
　　　　　将A（3,4）带入Y＝aX2＋bX＋1　
　　　　　得出：9a＋3b＝3　　　－－①
　　　　　因为抛物线的顶点为C(1,0)，所以，a＋b＋1＝0　　　－－②
　　　　　由①②式，得：a＝1　　b＝－2
　　　　　所以，抛物线方程：Y＝X2－2X＋1

（2）思路：求出A、B两点距离，然后求出E点到直线AB的距离，因为AB坐标已求出，A，B的距离为定值，那么求三角形的面积最大值，就是求E点到AB的最远距离，观察图形知道，当抛物线的切线与直线平行时，E点到AB的距离最远。即：此时切线的斜率等于直线的斜率相等，对抛物线求导，可得，Y＝2X－2
　　　令2X－2＝1，推出：X＝1．5
　　　　即：n＝1．5
　　　就是说，n＝1．5，S有最大值
　　　此时E点坐标：（1．5，0．25）
　　　A（3，4）、B（0，1）间距离：d＝……＝3倍根号2＝4．242
　　　E到AB的距离，根据点到直线的距离，h＝1．15
　　　S最大＝1／2×4．242×1．15＝2．4375

PS：这道题的第一问，相对简单一点，
　　　第二问，我用到了大学里高等数学中的求导知识，算起来比较简便。
　　　第二问，也可以先求出AB两点间的距离，然后运用点到直线（AB）的公式，把E点到Y=x+1的距离表达出来，然后求表达式关于n的最大值，虽然费事一点也可以得出结果。
　　　希望对你有帮助，如还需要交流，欢迎追问。

Answer 2

(1)顶点M(1,0),二次函数可表达为y
=
a(x
-
1)²过A(3,4):a(3
-
1)²
=
4,a
=
1二次函数:y
=
(x
-
1)²
=
x²
-
2x
+
1A(3,4)在直线y
=
x
+
m上:3
+
m
=
4,m
=
1直线:y
=
x
+
1(2)y
=
x
+
1
=
x²
-
2x
+
1x²
-
3x
=
x(x
-
3)
=
0,x
=
0
(x
=
3,点A)B(0,1)B关于x轴的对称点为B'(0,-1)AB'的方程:(y
+
1)/(4
+
1)
=
(x
-
0)/(3
-
0)取y
=
0,x
=
3/5Q(3/5,0)(∆OBQ与∆OB'Q全等,BQ
=
B'Q,B',Q,A在一条直线上)

Answer 3

题目和图，不相配