如何求原函数

Question

不要按照那个表，我要的是原始的定义法，就是比如已知lim{f(x+dx)-f(x)/dx}=2x,dx趋向0，怎么计算得出f(x)=x^2+C (也就是原函数）

Answer 1

根据定义微分与积分实际上是互为逆运算，即微分是已知原函数然后求导，
求不定积分是已知导数求原函数。然而求一个函数的导函数往往很好求，
求导甚至不需要知道具体的表达式（如隐函数的求导），但反过来
求不定积分，就不是那么容易了。所以一些基本函数与其导函数的转化关系
一定要熟，当已知导函数，立刻想到其原函数，问题便会迎刃而解。所以
导数与原函数的对应关系（即所谓的常用导数表或积分表），一定要熟。

根据原始的不定积分定义，求不定积分，就得熟知积分表，抛开它就
无法下手。

然而求导是可以根据定义来做的，比如已知lim{f(x+dx)-f(x)/dx}=2x,dx趋向0，根据导数定义，这句话就是要告诉我们f'(x)=2x,求它的原函数就得根据
简单的导数与其原函数的对应关系来求。因为f'(x)=(x^2+C)'=2x,所以
其原函数为f(x)=x^2+C

Answer 2

由你的已知条件有
f'(x)=2x
原函数的定义 F'(x)=f(x) F(x)是f(x)的原函数
则f(x)是2x的一个原函数

因为(x^2)'=2x

所以f(x)=2x+C

还不用那个表,回去好好看看书吧,那个表就是用定义推出来的.
先有原函数定义,然后有原函数存在定理,然后推出原函数=其中一个原函数+C
然后推出求原函数和求导数是逆运算的关系,才得出那个表.

Answer 3

f'(x)=2x
原函数的定义 F'(x)=f(x) F(x)是f(x)的原函数
则f(x)是2x的一个原函数

因为(x^2)'=2x

所以f(x)=2x+C
根据定义微分与积分实际上是互为逆运算，即微分是已知原函数然后求导，
求不定积分是已知导数求原函数。然而求一个函数的导函数往往很好求，
求导甚至不需要知道具体的表达式（如隐函数的求导），但反过来
求不定积分，就不是那么容易了。所以一些基本函数与其导函数的转化关系
一定要熟，当已知导函数，立刻想到其原函数，问题便会迎刃而解。所以
导数与原函数的对应关系（即所谓的常用导数表或积分表），一定要熟。

根据原始的不定积分定义，求不定积分，就得熟知积分表，抛开它就
无法下手。

然而求导是可以根据定义来做的，比如已知lim{f(x+dx)-f(x)/dx}=2x,dx趋向0，根据导数定义，这句话就是要告诉我们f'(x)=2x,求它的原函数就得根据
简单的导数与其原函数的对应关系来求。因为f'(x)=(x^2+C)'=2x,所以
其原函数为f(x)=x^2+C

参考资料：上两位只为佳分