一阶导数为零的点不一定是极值点，但是如果该点二阶导数不为零则一定

Question

一阶导数为零的点不一定是极值点，但是如果该点二阶导数不为零则一定是极值点，二阶导数等于零则一定不是极值点。对吗？

Answer 1

如果x0点处的二阶导数不为0
设二阶导数为正
那么说明f（x）的一阶导数在x0点附近是增函数，
那么当x＜x0的时候，f'（x）＜f'（x0）=0，f（x）是减函数
当x＞x0的时候，f'（x）＞f'（x0）=0，f（x）是增函数
所以f（x）在x0点附近是左减右增，x0点是极小值点。
设二阶导数为负
那么说明f（x）的一阶导数在x0点附近是减函数，
那么当x＜x0的时候，f'（x）＞f'（x0）=0，f（x）是增函数
当x＞x0的时候，f'（x）＜f'（x0）=0，f（x）是减函数
所以f（x）在x0点附近是左增右减，x0点是极大值点。
所以上面是证明说明，一阶导数为0，而二阶导数不为0的点，一定是极值点。追问

二者是等价的吗？极值→二阶导数≠0 二阶导数＝0→非极值

追答

不等价，
一阶导数为0，二阶导数为0，可以得出该点是极值点的结论。
但是该点是极值点，不能得出一阶导数为0，二阶导数为0的结论。
第一、极值点可以是不可导点，如果是不可导点，就不存在一阶导数，二阶导数和任何阶的导数，所以也就不可能是一阶导数为0，二阶导数为0了。
例如f（x）=|x|，这个函数在x=0点是极小值点，但是在x=0点处不可导。
第二，即使是二阶可导函数，极值点处也有可能一阶导数和二阶导数都是0
例如这个函数g（x）=x^4（x的4次方），
一阶导数为g'（x）=4x³；二阶导数为g''（x）=12x²
在x=0点处的一阶导数和二阶导数都是0，但是x=0是这个函数的极小值点。
所以该点是极值点，不能得出一阶导数为0，二阶导数为0的结论。无论函数在该点是可导还是不可导，都无法得出这个结论。

Answer 2

（1）y=x^3，在0点1阶导数、2阶导数都=0，但0不是它的极值点
（显然在0的任意邻域内都不是最大/最小值）
（2）二阶导不为零说明一阶导在该点附近的符号发生改变，所以一定是极值点
（二阶导>0说明一阶导在该点附近始终单增，而一阶导在该点又=0，
所以在该点左边一定一阶导<0，在该点右边一定一阶导>0，那么显然就是极值点了）

Answer 3

不对