微分方程Y''-Y'-2Y=0的通解这题目怎么做？

Question

如题所述

Answer 1

待定系数法：

y"+2y'-y=0

化为：(y'-αy)'=β(y'-αy)，其中α、β为待定的系数

不难发现：α+β=-2，αβ=-1，解得：α=-1+√2，β=-1-√2

从而得：d(y'-αy)/(y'-αy)=βdx

积分得：y'-αy=a*e^{βx}，a为积分常数

在这一步令y=u*e^{βx}为上述方程的通解，代入化简可得

u'+(β-α)u=a

即u'+(β-α)[u-a/(β-α)]=0

令v=u-a/(β-α)可得：v'+(β-α)v=0

可得：dv/v=(α-β)dx

积分得：v=b*e^{(α-β)x}

带回可得：u=a/(β-α)+b*e^{(α-β)x}

带回可得：y=[a/(β-α)+b*e^{(α-β)x}]e^{βx}=b*e^{αx}+a/(β-α)*e^{βx}

不妨令c=a/(β-α)，则：y=b*e^{αx}+c*e^{βx}

由α=-1+√2，β=-1-√2代入可得：

y=b*e^{-x}*e^{√2x}+c*e^{-x}*e^{-√2x}=e^{-x}[be^{√2x}+ce^{-√2x}]

=(1/2)e^{x}[(b+c+b-c)e^{√2x}+[b+c-(b-c)]e^{-√2x}]

=e^{x}[(b+c)(e^{√2x}+e^{-√2x})/2+(b-c)(e^{√2x}-e^{-√2x})/2]

=e^{x}[(b+c)cosh√2x+(b-c)sinh√2x]

再令d=b+c，e=(b-c)

从而得：y=e^{x}(dcosh√2x+esinh√2x)