有个数列1，1，2，3，5，8.........从第三个数开始每个数都是前面两个数之和，问第199位数除以三等于？

Question

如题所述

Answer 1

这个数列叫斐波那挈数列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)
(n≥3)
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,
X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n
+
C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1
+
C2*X2
C1*X1^2
+
C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1,
-rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*F(n-2)
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+
r^3*F(n-3)
……
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+……+
r^(n-2)*s
+
r^(n-1)*F(1)
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+……+
r^(n-2)*s
+
r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n
-
r^n)/(s-r)
r+s=1,
-rs=1的一解为
s=(1+√5)/2,
r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}
故其第199位数你就自己用计算机算吧,估计你的计算机没这么利害.这怎么会是小学奥数题,就算是初中的,也超难了!

Answer 2

这可是个天文数字！！！第46位已经是1836311903了，好像没有人能够算出第199位的。如果是指整个数列的位数的第199位，那么刚才的那个数的最后一位数就是。3除以3＝1

Answer 3

此数列除以8的余数重新构成一个数列：1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，(1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，)......这是一个重复数列，每12项重复一次，由此可得此数列第2003项除以8的余数是5
2003/12
余11
重复数列的11个数相加得32
32、8与0

Answer 4

楼上有点神经质，一个简单的周期问题都不会列出余数就行了四年级学过奥数的都会，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0......199除8余7所以是1