已知an是递增的等差数列 根号21是a2a4的等比中项，a1+a5=10，bn满足bn=2的n次方分之an 求an和 bn的前n项和

Question

如题所述

Answer 1

解：
数列是等差数列，a2+a4=a1+a5=10
√21是a2、a4的等比中项，a2·a4=(√21)²=21
a2、a4的方程x²-10x+21=0的两根
(x-3)(x-7)=0
x=3或x=7
数列{an}是递增数列，a2=3，a4=7
d=(a4-a2)/2=(7-3)/2=2
a1=a2-d=3-2=1
an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1
bn=an/2ⁿ=(2n-1)/2ⁿ
Tn=b1+b2+b3+...+bn=1/2 +3/2²+ 5/2³+...+(2n-1)/2ⁿ
½Tn=1/2²+ 3/2³+...+(2n-3)/2ⁿ +(2n-1)/2ⁿ⁺¹
Tn-½Tn=½Tn=1/2 +2/2²+ 2/2³+...+ 2/2ⁿ -(2n-1)/2ⁿ⁺¹
=1/2 +1/2 +1/2²+...+ 1/2ⁿ⁻¹ -(2n-1)/2ⁿ⁺¹
=½+ ½Â·(1-½ⁿ⁻¹)/(1-½) -(2n-1)/2ⁿ⁺¹
=3/2 -(2n+3)/2ⁿ⁺¹
Tn=3- (2n+3)/2ⁿ