向量的点积和叉积有什么不一样？

Question

如题所述

Answer 1

在线性代数中，有两种方式可以计算向量的乘法：点积（内积）和叉积（外积）。
点积（内积）：给定两个向量 a = [a₁, a₂, a₃] 和 b = [b₁, b₂, b₃]，它们的点积可以通过将对应位置的坐标相乘然后求和来计算：

a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃

点积的结果是一个标量（即一个实数），表示了两个向量之间的相似度或夹角的余弦值。

叉积（外积）：给定两个三维向量 a = [a₁, a₂, a₃] 和 b = [b₁, b₂, b₃]，它们的叉积可以通过以下公式计算：

a × b = [a₂ * b₃ - a₃ * b₂, a₃ * b₁ - a₁ * b₃, a₁ * b₂ - a₂ * b₁]

叉积的结果是一个新的向量，垂直于原来的两个向量所在的平面，其长度表示两个向量之间的面积，并且方向遵循右手法则。

需要注意的是，点积只适用于具有相同维度的向量，而叉积只适用于三维向量。当以坐标形式表示时，可以将向量的每个分量与对应位置的分量进行乘法运算，并按照点积或叉积的定义进行求和或计算向量。