关于积分中值定理

Question

从a到b积分，∫xf(x)dx=εf(ε)(b-a),∫xf(x)dx=f(ε)∫xdx,（积分的上下限都是a到b)
这两种用积分中值定理哪种对啊，我觉得是第一种，但是刚才做题发现答案是第二种的做法，谁能帮忙解答，请说明是为什么?
你的意思是上面两种都是对的？

Answer 1

积分中值定理：f(x)在a到b上的积分等于(a-b)f(c)，其中c满足a<c<b。

如果函数 f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立

其中(a≤ξ≤b)。

扩展资料：

中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。

中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。

参考资料：百度百科-中值定理

Answer 2

后者是推广的积分第一中值定理。要说明的一点是a,b大于等于零时才满足条件。

证明步骤见下图：

Answer 3

当a,b同号，两种都是对的，∫f(x)g(x)dx=f(ε)∫g(x)dx,只要g(x)不变号（积分域内）
而第一种情况是g(x)=1显然成立
第二种情况是g(x)=x，当a，b同号时也成立
但a，b异号时第二种不成立本回答被提问者采纳