手算开根号的计算方法可以分为两种常用的方法：试位法和牛顿迭代法。
1.试位法：
步骤1：将被开方数写成一对平方数的和的形式。
步骤2：找到一个整数，使其平方小于或等于被开方数，而且下一个整数的平方大于被开方数。这个整数就是开根号后的整数部分。
步骤3：将被开方数减去整数部分的平方，得到一个余数。
步骤4：将余数乘以100，再除以整数部分的两倍，并在整数部分后面加上一个未知数。这个未知数就是开根号后的小数部分的第一位。
步骤5：将整个数再次乘以这个未知数，得到一个结果。
步骤6：将这个结果乘以10，再除以整数部分的两倍，并在小数部分的后面加上一个新的未知数。这个未知数就是开根号后的小数部分的第二位。
步骤7：重复步骤5和步骤6，直到得到所需的精度为止。
2.牛顿迭代法：
步骤1：先猜测一个近似值作为开根号的结果。
步骤2：用被开方数除以这个近似值，得到一个商。
步骤3：将这个商和近似值相加，再除以2，得到一个更接近真实结果的近似值。
步骤4：将新的近似值代入步骤2，继续进行迭代，直到达到所需的精度为止。
无论是哪种方法，都需要进行多次迭代，直到达到所需的精度。而且手算开根号通常只适用于较小的数，对于较大的数，使用计算器或电脑进行计算更为快捷和准确。
牛顿迭代法的用处：
1.求解非线性方程
牛顿迭代法可以用来求解任意形式的非线性方程，如多项式方程、指数方程、对数方程等。它通过不断逼近方程的根来求解方程的解。
2.求解优化问题
在优化问题中，往往需要找到使得某个函数取得最大值或最小值的变量取值。牛顿迭代法可以用来求解这类问题，通过寻找函数的极值点来找到最优解。
3.求解方程组
对于多个未知数的方程组，可以将其转化为一个非线性方程，然后使用牛顿迭代法求解。牛顿迭代法可以通过不断迭代来逼近方程组的解。
4.求解微分方程
牛顿迭代法可以用来求解一些特定的微分方程，如常微分方程、偏微分方程等。它可以通过将微分方程转化为非线性方程来求解。