什么是一阶无穷小，二阶无穷小，n阶无穷小？

Question

如题所述

Answer 1

当函数f(x)在x趋向于某个点时，若其值趋向于零，我们称f(x)为无穷小。具体到一阶、二阶和n阶无穷小，我们可以这样理解：

一阶无穷小：当x接近某个值（例如0），如x、x^2、x^3等，如果x的幂次是一，则x被视为一阶无穷小。例如，当x->0时，x本身是一阶无穷小。

二阶和更高阶无穷小：随着x的幂次增加，无穷小的阶数也随之上升。比如，x^2是二阶无穷小，x^3是三阶无穷小，它们的极限趋近于零的速度比一阶的更快。

同阶无穷小比较：当两个函数F(x)和G(x)的极限都趋近于零，并且它们的比值极限为常数（非零），则称它们是同阶无穷小。例如，(1-cosx)/x^2在x->0时的极限为1/2，表明(1-cosx)与x^2是同阶无穷小。

在实际问题中，比如(x^2-9)与(x-3)的比较，当x接近某个数（如3）时，它们都趋于零，但(x^2-9)的趋近速度与(x-3)相同，所以我们说它们是同阶无穷小。

无穷小的比较还涉及到不同无穷小比值的极限，这反映了它们趋近于零的速度差异。例如，x->0比3x->0快，而3x->0比x->0慢，sin x->0与x->0的快慢相当。

总结，无穷小的阶数定义了它们趋近零的速度，理解这些概念对于处理微积分中的极限问题至关重要。根据定义，我们可以比较无穷小的阶次，如β是比α高阶无穷小（记作β>O(α)），低阶（记作β=o(α)），或同阶（记作β=O(α)）。