已知函数f（x）=（ax2+x）?ex，其中e是自然数的底数，a∈R，（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；（2）当a

已知函数f（x）=（ax2+x）?ex，其中e是自然数的底数，a∈R，（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；（2）当a=0时，试判断：是否存在整数k，使得方程f（x）=（x+1）?ex+x-2在[k，k+1]上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由；（3）若当x∈[-1，1]时，不等式f（x）+（2ax+1）?ex≥0恒成立，求a的取值范围．

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推荐答案推荐于2016-05-19

（1）当a＜0时，由不等式f（x）＞0，
得（ax²+x）?e^x＞0，即ax²+x＞0，
由于a＜0，所以ax(x+

)＞0
所以解集为{x|0＜x＜?

}．…（2分）
（2）方程即为e^x+x-2=0，
设h（x）=e^x+x-2，
由于y=e^x和y=x-2均为增函数，则h（x）也是增函数，
又因为h（0）=e⁰+0-2=-1＜0，h（1）=e¹+1-2=e-1＞0，
所以该函数的零点在区间（0，1）上，
又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有一个零点，
所以方程e^x+x-2=0有且仅有一个根，且在（0，1）内，
所以存在唯一的整数k=0．…（6分）
（3）当x∈[-1，1]时，即不等式ax²+（2a+1）x+1≥0恒成立，
①若a=0，则x+1≥0，该不等式满足在x∈[-1，1]时恒成立；…（7分）
②由于△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，
所以g（x）=ax²+（2a+1）x+1有两个零点，
若a＞0，则需满足

a＞0

g(?1)≥0

2a+1

≤?1

，
即

a＞0

a≤0

2a+1≥2a

，此时a无解；…（9分）
③若a＜0，则需满足

a＜0

g(?1)≥0

g(1)≥0

，
即

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