y=(x-a)lnx的单调性

Question

如题所述

Answer 1

y=(x-a)lnx
y' = lnx + (x-a)/x
y'' = 1/x + a/(x^2) = ( x + a)/(x^2)

1） 若 a > 0, y'' >0 y'(x) 是单增函数，
仅存在 一个 x0, 使得 y'（x0） = 0
在( -∞, x0 ） y 单调递减
在( x0，+∞ ） y 单调递增
2） a <0 时 y'' = 0 x= -a
在( -∞, -a ） y' 单调递减
在( -a，+∞ ） y' 单调递增
x = -a， y' 取得极小值
y'（-a） = ln(-a) + 2;
y'（-a） = 0 a = -e^(-2)
当 a < -e^(-2) 时， y’(x) 始终大于 0
因此 在( -∞，+∞ ） y 单调递增

当 -e^(-2) a < 0 时， y’(x) = 0 有两个根 x1, x2. 设 x1 < x2
在( -∞, x1 ） y 单调递增
在( x1, x2 ） y 单调递减
在( x2，+∞ ） y 单调递增

Answer 2