求由y=根号X ,y=0,x=4围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积.

求由y=根号X ,y=0,x=4围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积. 考试题目急急急！！谢谢了！

推荐答案 2010-03-07

解：将x轴等分为若干份，间距为dx，相应地，在y轴上对应的间距则为dy，用垂直于y轴的平面将该旋转体切成一系列薄片，那么这些薄片是一系列圆环式的柱体，其外半径为4，高为dy，所以
该柱体在横坐标为x处的内半径为x，
其底面积S=π*4²-π*x²=π(16-x²)
其体积为dV=S*dy=π(16-x²)*d(√x)=π(16-x²)*/(2√x)dx=(π/2)*[16x^(-1/2)-x^(3/2)]dx
所以整个旋转体的体积
V=∫<0→4>(π/2)*[16x^(-1/2)-x^(3/2)]dx
=(π/5)*[80√x-x^(5/2)]∣<0→4>
=(π/5)*[80√4-4^(5/2)]
=128π/5

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第1个回答 2010-03-07

y=√x，即x=y²，与x=4交点为(4,2)
∫(0,2)π(4²-(y²)²)dy
=∫(0,2)π(4²-(y²)²)dy
=π[16y-(y^5)/5]|(0,2)
=108π/5

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