正定矩阵的对角线元素是正的吗？如何证明？反过来，对吗

Question

如题所述

Answer 1

是的，正定矩阵的主对角线元素一定为正。正定的充分必要条件是它的所有主子式都为正，而一阶的主子式就是主对角线元素。
反过来，则不然，例如2阶矩阵，第一行是1 2，第二行是2 1，它主对角元素都为正，但不是正定矩阵。

Answer 2

当然是不对的
只能说正定矩阵的特征值都是正的
但是对角线元素不一定就是特征值
除了已经化为对角线矩阵
否则是不能这么说的本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

不一定，只能说对称的（划重点）正定矩阵的对角线元素都是正的。不是对称的话不能确定，比如，一个二阶矩阵，a11＝1，a12＝2，a21＝-1 a22＝-1。

Answer 4

正定矩阵是根据内积定义的，根据定义非零相同元素内积一定大于0.
所以<x,x>=xTAx>0，正定矩阵A里面的元素都是基向量的内积<ei,ej>，对角线的元素都是基向量与自身的内积，而根据内积定义<ei,ei>也一定大于0，所以正定矩阵对角线元素一定是正的。

Answer 5

不一定，只要其所有顺序主子式均大于零即可