矩阵如下:
0 a 1
0 1 0
1 -1 0
问a为何值时,矩阵A能对角化?
|A-λE|= -λ a 1
0 1-λ 0
1 -1 -λ =(λ-1)^2(λ+1)=0
λ1=-1
λ2=λ3=1
到这里为止我都懂!但是下面该怎么办?
把λ1=-1 λ2=λ3=1 按照[可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量]
带回去求出特征向量,再证明线性无关,然后求出a?
TM会算死人的!
再看看答案:A-1*E=……然后它的秩=1然后a=1
然后我就无语了!到底怎么来的?
如果A可以对角化,那么有一个结论:r(A-λE)=阶数-特征值重数,这里特征值两重,3阶,那么这个秩就是1,这就是结论的由来。对 A-λE 进行行变换,化成行阶梯,可以看出要使这个秩为1就要使 a=1。或者这里 r(A)<3,则 |A|=0。
n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每一个ki重特征根λi,齐次线性方程组(λiI-A)X=0的基础解系由ki个解向量构成。
扩展资料:
如果 V 是有限维度的向量空间,则线性映射 T : V → V 被称为可对角化的,如果存在 V 的一个基,T 关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。
可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值,因为对角矩阵特别容易处理: 它们的特征值和特征向量是已知的,并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。
参考资料来源:百度百科-可对角化矩阵