已知函数f(x)＝－1╱2ax2＋(1＋a)x－Inx a属于R.(1)当a＞0时，求函数f(x

Question

已知函数f(x)＝－1╱2ax2＋(1＋a)x－Inx a属于R.(1)当a＞0时，求函数f(x)单调递减区间

Answer 1

f(x)=-½ax²ï¼‹(1＋a)x-lnx
定义域x>0
f'(x)=-ax+1+a-1/x
=[-ax²+(1+a)x-1]/x
驻点：x₀=[-1-a±√(1-a)²]/-2a
=[1+a±|1-a|]/2a
=1或1/a
由抛物线y=-ax²+(1+a)x-1图像可知：开口向下，两零点之间的函数值>0
∴当0<a<1时，x∈(0,1)∪(1/a,+∞),f'(x)<0,f(x)单调递减
a=1时，f'(x)=-(x-1)²/x≤0,f(x)全定义域单调递减
a>1时，x∈(0,1/a)∪(1,+∞),f'(x)<0,f(x)单调递减