具体回答如下:
lim(x→+∞)(x^(1/x))
=lim(x→+∞)(e^(ln(x^(1/x)))
=e^(lim(x→+∞)(ln(x^(1/x)))
=e^(lim(x→+∞)((lnx)/x))
lim(x→+∞)((lnx)/x)
=lim(x→+∞)((1/x)/1)
=lim(x→+∞)(1/x)
=0
lim(x→+∞)(x^(1/x))
=e^(lim(x→+∞)((lnx)/x))
=e^0
=1
应用条件:
在运用洛必达法则之前,首先要完成两项任务:
二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足,接着求导并判断求导之后的极限是否存在:如果存在,直接得到答案;如果不存在,则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决;如果不确定,即结果仍然为未定式,再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
lim(x→+∞)(x^(1/x))
=lim(x→+∞)(e^(ln(x^(1/x)))
=e^(lim(x→+∞)(ln(x^(1/x)))
=e^(lim(x→+∞)((lnx)/x))
而lim(x→+∞)((lnx)/x)是∞/∞类型,分子分母分别求导数得到lnx的导数是1/x,x的导数是1
所以lim(x→+∞)((lnx)/x)=lim(x→+∞)((1/x)/1)=lim(x→+∞)(1/x)=0
所以lim(x→+∞)(x^(1/x))==e^(lim(x→+∞)((lnx)/x))=e^0=1
极限思想的思维功能
极限思想在现代数学乃至物理学等学科中,有着广泛的应用,这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。
“无限”与’有限‘概念本质不同,但是二者又有联系,“无限”是大脑抽象思维的概念,存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射,符合客观实际规律的“无限”属于整体,按公理,整体大于局部思维。
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