泰勒三阶展开式怎么推导？

Question

如题所述

Answer 1

展开式的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)f''(a)(x-a)^2 + (1/3!)f'''(a)(x-a)^3 + O((x-a)^4)
其中，f(a)是函数f在点a处的函数值，f'(a)是函数f在点a处的一阶导数值，f''(a)是函数f在点a处的二阶导数值，f'''(a)是函数f在点a处的三阶导数值。O((x-a)^4)表示高于三阶的部分，称为余项，通常可以忽略不计。
要证明泰勒三阶展开式，可以使用泰勒公式进行推导。泰勒公式表示，在某一点a处，可以将任意光滑的函数f展开成一个幂级数：
f(x) = Σn=0到∞ (f^n(a)/n!)(x-a)^n
其中，f^n(a)表示函数f在点a处的n阶导数值。
如果我们只保留展开式中的前四项，即n=0,1,2,3，就可以得到泰勒三阶展开式：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)f''(a)(x-a)^2 + (1/3!)f'''(a)(x-a)^3
这是因为在展开式中，第四项的余项为O((x-a)^4)，可以忽略不计。