高数曲线积分如何计算的？

Question

如题所述

Answer 1

曲线积分主要分为两类：一是对弧长的曲线积分，通常表示为∫_L f(x,y)ds，其中L为积分曲线；二是对坐标的曲线积分，表示为∫_L f(x,y)dx + g(x,y)dy，同样L为积分曲线。
1. 对弧长的曲线积分的计算方法通常包括以下两种：
- 直接法：将积分曲线的关系直接代入被积函数，转化为单变量积分。
- 使用格林公式：在应用格林公式时，需要注意两个条件：a) P(x,y)和Q(x,y)在闭区间D上处处有连续的一阶偏导数；b) 积分曲线L为封闭曲线，且沿正向积分。
2. 补线后使用格林公式：当要计算的曲线积分曲线不封闭，但直接法计算不便时，可以补充一条曲线，使得原曲线成为封闭曲线。提示：在应用格林公式之前，可以将积分曲线的变量关系随意代入积分表达式。但一旦使用格林公式，就转变为二重积分，不再满足积分曲线的变量等量关系。