用定积分和分部积分法运算？

Question

如题所述

Answer 1

😳问题 :∫(0->π/2) xcos2x dx

👉定积分

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

👉定积分的例子

『例子一』 ∫(0->1) dx =[x]|(0->1) =1

『例子二』 ∫(0->π/2)  cosx dx =[sinx]|(0->π/2) =1

『例子三』 ∫(0->1) xdx =(1/2)[x^2]|(0->1) =1/2

👉回答

∫(0->π/2) xcos2x dx

dsin2x =2cos2x dx

=(1/2)∫(0->π/2) x dsin2x 

分部积分

=(1/2)[ xsin2x]|(0->π/2) - (1/2)∫(0->π/2) sin2x  dx

=0 +(1/4)[cos2x]|(0->π/2)

=-1/2

😄: ∫(0->π/2) xcos2x dx =-1/2