回答之前先说说我的经历，我初中参加了华罗庚杯、
希望杯、市级竞赛，都是一等奖。
初中的
数学竞赛挺多的，但是大部分可能都是小地方的竞赛。比如市级的一些竞赛，这些看你所处的地区对数学的重视程度。我们学校初中最多人参加的是希望杯和华罗庚杯数学竞赛。这两个赛事应该是全国范围内知名度最广的，而且竞争比较小，我当年参加希望杯的时候一等奖全市有差不多30个，华罗庚杯一等全市也有差不多10个。希望杯得奖以后好像没有后续的比赛。华罗庚杯还有一个全国总决赛，这个一般要自费参加，不出意外在广东惠州的
华罗庚中学举办，去的人一般也就是全国顶尖的了，如果能得一等奖，感觉将来高中联赛一等奖都是很稳的。我当年参加总决赛只得了三等奖，高二就联赛二等奖了。这个全国总决赛没有那么热，但是懂得人都懂，个人感觉含金量挺高。好像华罗庚杯初中可以参加一次，希望杯可以参加两次，看年份，华罗庚杯要比希望杯难很多。
然后就是有一些小范围的数学竞赛了，什么美国数学竞赛还有一些别的，知名度不是很高，但是有兴趣也可以去练练。
初中参加数学竞赛没有条件，交钱就能参加，一般分为预赛和复赛，过了预赛才能晋级复赛。如果不想打酱油的话建议提前准备吧，最好是能系统地学习，参加点
补习班，要自学基本不可能。另外就是做真题，每个竞赛每一届的难度基本固定。如果感觉上手的话，建议多看看数论，很有帮助。
初联的话不清楚，我们这边都没有这个比赛，一般都是高中参加联赛。
希望对你有帮助，祝好运，望采纳！