二次插值法迭代终止条件

Question

如题所述

Answer 1

插值法

　　通过已有的条件构造插值函数

　　通过求插值函数的极小值点去近似已有函数的极小值点

三点二次插值

　　已有三个点（p1,f(p1))，（p2,f(p2))，（p3,f(p3))

　　通过拉格朗日插值法获取插值函数

　　求得插值函数的倒数为0获取插值函数的极小值点（p0,f(p0))

　　现在我们有四个点了，通过这种方法得到四个点后，通过试探法的迭代方法去缩小区间即可

　　终止准则也同迭代法的终止准则

二点二次插值

　　给定初始步长alaph和步长缩减因子

　　我可以获得x的函数值和他的导数

　　获取第一个点x0,f(x0), f'(x0)

　　给定步长alaph，往函数下降的方法走alaph得到x1

　　若f(x1) > f(x0) + f'(x0) * abs(x0 - x1) 则步长不断以alaph = 2*alaph增加直到不满足条件

　　通过f(x1), f(x0), f'(x0)计算插值函数，并求得最优点u

　　若f‘(u) < e 终止迭代

　　否则将u作为初始点，继续迭代步长alaph = p * alaph

　　

　　一般来说 alaph = 2 p = 1/10

二点三次插值

　　给定初始步长alaph和步长缩减因子

　　我可以获得x的函数值和他的导数

　　获取第一个点x0,f(x0), f'(x0)

　　给定步长alaph，往函数下降的方法走alaph得到x1

计算得到f(x1), f'(x1)
若f'(x1) * f'(x0) > 0 则将x1做为x0 alaph = 2 * alaph的方式迭代直到不满足条件
通过f(x1),f'(x1), f(x0), f'(x0)计算插值函数，并求得最优点u
若f‘(u) < e 终止迭代
否则将u作为初始点，继续迭代步长alaph = p * alaph
一般来说 alaph = 2 p = 1/10

Answer 2

二次函数 的极小点为
设 。求得 和 以后，如果
≤ ，当 > 时，
或者如果
≤ ，当< 时。
则我们认为收敛准则满足。如果< ,则极小点估计为 ，否则为 。
若终止准则不满足，则利用 提供的信息，从 ， ， 和 中选出相邻的三个点，将原来的搜索区间缩小，然后重复上述过程，直到终止准则满足为止。
初始步 给出?，?，?，满足上述设计步骤。
步1 由上述设计步骤计算?。
步2 比较?和?的大小，如果?>?，则转步3；否则转步4。
步3 如果?≤?，则
?，?，?，?，
转步5；否则?，?，转步5。
步4 若?，则
?，?，?，?，
转步5；否则?，?，转步5。
步5 如果收敛准则满足，停止迭代；否则转步1，在新的搜索区间[?,?]上按公式计算二次插值函数的极小点?。
-2.5,-1.4,-0.3
-0.3,1.5,3.3.
插值法仅需计算函数值，不涉及导数、Hesse矩阵等的计算，计算起来相对比较简单，能够适用于非光滑和导数表达式复杂或表达式写不出等种种情形。
当迭代步数较多时，计算过程比较复杂，计算量较大，计算起来比较麻烦。当迭代点离目标函数的最优解较远时，追求线性搜索的精度反而会降低整个算法的效率。