急求历史上著名的数列，越多越好，要详细的

Question

数列

Answer 1

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 

  这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

    随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 

  从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1）

  斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

  斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：

  1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

  2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)

  3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1

  4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

  5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

  6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)

  利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。

  7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

  8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

  9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

  10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]斐波那契数列

Answer 2

问题一：汉诺塔问题 传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放了一块黄铜板，板上插了三根宝石柱，在其中一根宝石柱上，自上而下按由小到大的顺序串有64个金盘。要求将左边柱子上的64个金盘按照下面的规则移到右边的柱子上。 规则： ①一次只能移一个盘子； ②盘子只能在三个柱子上存放； ③任何时候大盘不能放在小盘上面。 三、递推关系探求 学生自主探求 四、交流总结 设三根宝石柱分别为：A、B、C，设aE为将A上的铁片按上述规定全部移到C上所需要移动的最少次数，则a1=1，a2=3，a3=7。 当n=3，即A上有3个铁片时，为了能将A上的最下面一个大铁片能移到C上，应先将A上的前2个铁片移到B上。根据n=2时的结论，这样要先移3次，第4次就可将A上的最下面的大铁片移到C上，然后再将B上的2个铁片移到C上，借助A，利用n=2时的结论，又需移动3次，这样一共移了7次，即a3=7。 以此类推，若当A上有n个铁片时，共需要移动an次才能将铁片全部移到C上，则当A上有n+1个铁片时，为了将A上面的n个铁片先移到B上，根据假设为此需移动an次，这样在移动1次就可将A上的最下面的一个大铁片移到C上，然后将B上的n各铁片移到C上，这又需要移动an次，于是一共移动了an+1=2an+1，（n∈N）次。

问题二：裴波那契数列 裴波那契（Fibonacci Leonardo，约1170-1250）是意大利著名数学家。保存至今的裴波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘书》，《算盘书》中许多有趣的问题中最富成功的问题是著名的“兔子繁殖问题”。 如果每对兔子每月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？

问题三：猴子分桃 1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题： 5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分。夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉一个桃子后，也将桃子分成5等分，藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理。问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？

汉诺塔问题、兔子繁殖问题、猴子分桃问题。汉诺塔是一个经典的数学问题，很多学生在课外玩过汉诺塔游戏，这个问题在学生当中容易引起共鸣。本节课主要以汉诺塔游戏作为学生探求递推公式的支架,学生利用游戏自己去探究、发现。使一个原本复杂的问题，通过游戏使大部分同学都能发现其中的递推关系。兔子繁殖问题和猴子分桃问题，使学生进一步对递推公式产生兴趣，并把递推公式作为来解决一些实际问题的工具。

Answer 3

大衍数列
0、2、4、8、12、18、24、32、40、50－－－－－－
通项式：
an=(n×n－1)÷2 (n为奇数)
an=n×n÷2 (n为偶数)
前n项和公式：
Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n为奇数）
Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (n为偶数）
大衍数列来源于《乾坤谱》，用于解释太极衍生原理。

斐波那契数列
1、1、2、3、5、8、13、21、……
通项式
F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
还可以发现 S0+S1+S2+……+Sn-2 =Sn -1

Answer 4

等差数列典型例题：
1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求Sn
解析：
Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]
=1-1/(n+1)

大衍数列 0、2、4、8、12、18、24、32、40、50－－－－－－
通项式：
an=(n×n－1)÷2 (n为奇数)
an=n×n÷2 (n为偶数)
前n项和公式：
Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n为奇数）
Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (n为偶数）
大衍数列来源于《乾坤谱》，用于解释太极衍生原理。

斐波那契数列 1、1、2、3、5、8、13、21、……
通项式
F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
还可以发现 S0+S1+S2+……+Sn-2 =Sn -1

参考资料：http://baike.baidu.com/view/39749.htm?fr=ala0_1_1#8