如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点

Question

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点
2013-06-16
（1）求证：AC²=AB*AD
（2）求证：CE∥AD
（3）若AD=4，AB=6，求AC/AF的值

第二问，网上有原图为什么说E是中点，所以AE=EC

Answer 1

（1）证明：因为AC平分角DAB
所以角CAD=角CAB
因为角ADC=角ACB=90度
所以三角形ADC和三角形ACB相似（AA)
所以AC/AB=AD/AC
所以AC^2=AB*AD
(2)证明：因为角ACB=90度
所以三角形ACB是直角三角形
因为E是AB的中点
所以CE是直角三角形ACB的中线
所以CE=AE=BE=1/2AB(直角三角形中线定理）
所以角ACE=角CAB
因为角CAD=角CAB
所以角CAD=角ACE
所以CE平行AD
(3)不知点F在何处，所以无法解答

Answer 2

在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，
把AB=5，AE=代入求出BE=，
同理DF=3＞5，即F在DC的延长线上（如上图），

∴CE=6﹣，CF=3﹣5，
即CE+CF=1+，
②如图：
∵AB=5，AE=，在△ABE中，由勾股定理得：BE=，
同理DF=3，
由①知：CE=6+，CF=5+3，
∴CE+CF=11+，

Answer 3

(1)∠DAC=∠CAB(AC平分∠DAB)
∠ADC=∠ACB=90°
△ADC相似△ABC
AC/AB=AD/AC
AC^2=AB×AD
(2)E是中点，所以AE=EC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∠EAC=∠ACE
∠DAC=∠EAC
∠ACE=∠DAC
CE平行AD
(3)∠ADF=∠CEF
∴△AFD∽△CFE
∴AD/CE=AF/CF
∵CE=1/2AB
∴CE=1/2*6=3
又∵AD=4
由AD/CE=AF/CF得4/3=AF/CF
∴AF/AC=4/7
所以AC/AF=7/4

第二问 因为E是RT△ABC斜边上的中点, 斜边上的中线等于斜边的一半

Answer 4

（1）∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠CAB又∵∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB∴AD/AC=AC/AB∴AC²=AB*AD（2）∵E为AB的中点∴CE=1/2AB=AE∠EAC=∠ECA∵AC平分∠DAB∴∠CAD=∠CAB∴∠DAC=∠ECA∴CE∥AD（3）∵CE∥AD∴∠DAF=∠ECF∠ADF=∠CEF∴△AFD∽△CFE∴AD/CE=AF/CF∵CE=1/2AB∴CE=1/2*6=3又∵AD=4由AD/CE=AF/CF得4/3=AF/CF∴AF/AC=4/7所以AC/AF=7/4

Answer 5

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333