代数数 满足形如anxn＋an-1xn-1＋…＋a1x＋a0＝0（n≥1，an≠0）的某整系数代数方程的实数或复数。例如是一个实代数数，它满足方程x2－2＝0 。每个有理数（m，n为整数 ，n≠0）都是代数数，因为它满足方程 nx-m ＝0。可见代数数集包含了有理数集。然而，代数数集并不包含全部实数。代数数集是一个可数集，即所有代数数能与全体自然数建立一一对应，而实数集是不可数的无穷集，因此，一定存在不是代数数的实数。现已证明 π和e这些无理数不是代数数。不是代数数的数称为超越数。由此可见，就实数集而言，实数既可按有理数和无理数分为两类，又可按实代数数和实超越数分为两类。实代数数集是有理数集的自然扩充。所有整系数代数方程的根，都叫做代数数。其中首项（最高次项）系数为1的整系数代数方程的根则叫做“代数整数”。 什么是“代数数”？如果一个复数，它是形如如下的整系数代数方程的根的话（这里a≠0），那么它就被称为“代数数”。全体复数集合中，除去代数数，剩下的便称为“超越数”。代数数所包含的范围很广，它包括了所有的有理数和它们的根，如……都是代数数。超越数的概念，首次出现在1748年出版的欧拉的著作《无穷分析引论》之中。他在该书第一卷第六章中，未加证明地断言：“如果数b不是底a的幂，其对数就不再是一个无理数。事实上，假如a,b都是有理数，这等式不能成立，因而对于这种不是底a的幂的数b，其对数应当恰如其分地命名为超越数。”历史上第一个证明了超越数存在性的是法国数学家刘维尔（J.Liouville,1809~1882）,他于1851年构造了一个数：这个无限小数后来被称为“刘维尔数”。刘维尔成功地证明了这个数是一个超越数。 既然复数集合中既包含代数数，又包含超越数，那么它们各有多少呢？在“刘维尔数”构造出来之后二十多年，数学家康托证明了：所有代数数的集合是可数的，即代数数的个数与自然数一样多！在此基础上，康托根据他的集合论中的另外一个结论——实数集是不可数的，得知复数集也是不可数的，因而进一步得到一个结论：必定存在不是代数数的复数，因此超越数必定存在！ 这是关于超越数的存在性的第一个非构造性的证明，换句话说，康托并没有构造出一个具体的超越数就证明了它们的存在！数学中的许多证明就是用非构造性的方法来实现的。刘维尔的方法则是构造性的方法，即实际地生成一个对象并给出证明。这两种方法都是数学证明中的常用方法。 一般情况下，我们考虑一个具体的对象比考虑一个抽象的对象要容易得多，但在数学中，有时却恰恰相反：证明某个具体的数是超越数远比非构造性地证明超越数的存在性更为困难和复杂。继刘维尔之后，数学家们为了证明某些具体的数的超越性付出了种种努力：1873年，法国数学家埃尔米特（C．Hermite，1822～l901）证明了自然对数的底 e＝2．7182818…… 是超越数。1882年，德国数学数学家林德曼（Lindemann，1852～1939）证明了圆周率 π＝3．1415926…… 是超越数。1900年，国际数学家大会上提出的希尔伯特23个问题中的第十个就是关于超越数的问题。希尔伯特推测像 这样的数是超越数。1929年，有人证明了是 超越数。1930年， 也被证明是超越数。
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