高数幂级数求和函数跪求

Question

高数幂级数求和函数跪求跪求第九题

Answer 1

解：设S(x)=∑(x^n)/n，两边由S(x)对x求导，有S'(x)= ∑x^(n-1)。 当|x|<1时，S'(x)=1/(1-x)。
两边从0到x积分，原式=S(x)=-ln(1-x)。
对S(x)，当x=-1时，是交错级数，满足莱布尼茨判别法的条件，收敛。故，∑[(-1)^(n-1)]/n=- ∑[(-1)^n]/n=-s(-1)=ln2。
供参考。