一、等积变换模型
⑴等底等高的两个三角形面积相等;
其它常见的面积相等的情况
⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如上图
⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图 ;
反之,如果 ,则可知直线 平行于 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
二、鸟头定理(共角定理)模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在 中, 分别是 上的点(如图1)或 在 的延长线上, 在 上(如图2),则
图1 图2
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
① 或者 ②
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
①
② ;
③梯形 的对应份数为 。
四、相似模型
相似三角形性质:
金字塔模型 沙漏模型
① ;
② 。
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
S△ABG S△AGC S△BGE S△EGC BE EC
S△BGA S△BGC S△AGF S△FGC AF FC
S△AGC S△BCG S△ADG S△DGB AD DB
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考