向量线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支，其中有许多常见的定理和性质。以下是一些常见的定理和性质：
1.基本定理：向量空间的基可以唯一确定，且任意两个基之间存在线性变换。
2.线性组合：任意向量可以通过基的线性组合表示。
3.线性无关性：如果一组向量线性无关，则它们不能通过线性组合表示为零向量。
4.线性相关性：如果一组向量线性相关，则至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
5.零空间：对于给定的向量空间和一组向量，它们的线性组合构成的集合称为零空间。
6.秩：向量空间的维数称为秩，它等于最大线性无关组的大小。
7.矩阵乘法：矩阵乘法满足分配律、结合律和单位元等性质。
8.行列式：矩阵的行列式是一个标量，它反映了矩阵的某些几何性质。
9.逆矩阵：对于非奇异矩阵，存在唯一的逆矩阵，使得矩阵乘法满足消去律。
10.特征值和特征向量：对于一个方阵，它的特征值是满足特征方程的标量，对应的特征向量是满足特征方程的非零向量。
11.对角化：如果一个矩阵可以被对角化，那么它可以表示为一系列特征向量和对应的特征值的矩阵之积。
12.正交性：如果两个向量正交，则它们的点积为零。
13.内积空间：如果一个向量空间定义了内积运算，并且满足交换律、分配律、正定性等性质，那么它是一个内积空间。
14.标准正交基：在内积空间中，可以选择一组正交基，使得它们的内积为零。
15.投影：在内积空间中，一个向量在另一个向量上的投影是一个实数，它是两个向量的内积与第二个向量的模长的比值。