f(x+y)=f(x)+f(y)的问题 已知f(x+y)=f(x)+f(y),能否推出f(x)是线性函数?如何推?

Question

如题所述

Answer 1

线性函数的定义:
设V是数域F上的一个线性空间,f是V到F的一个映射,如果对于任意α,β∈V,
k∈F,f满足以下两条:
①f( α + β ) = f( α )+ f( β );
②f( kα ) = kf( α ).
则称f是V上的一个线性函数
f(x+y)=f(x)+f(y),只满足第一条,不满足第二条.所以不能推出是线性函数.
举个简单例子,例如逻辑代数里面的函数f(x)=1
f(1)+f(0) = 1+1 = 1 = f(1+0)
f(0)+f(0) = 1+1 = 1 = f(0+0)
f(1)+f(1) = 1+1 = 1 = f(1+1)
但是
f(0*1) = 1
0*f(1) = 0
f(0*1) ≠ 0*f(1),所以不是线性函数