极限、定积分的高数题目，附图

Question

如题所述

Answer 1

2. ∵f(x)在【0，1】上连续，在(0,1)内可导 f(0)=f(1)=0 f(1/2)=1
　　∴根据拉格朗日中值定理，至少存在一个 ξ1∈(0,1/2), ξ2∈(1/2,1)
　　使得 f'(ξ1)=1/(1/2)=2 f'(ξ2)=-1/(1/2)=-2
　　∵f(x)在【0，1】上连续ξ1∈(0,1/2), ξ2∈(1/2,1)
　　∴f'(x)在【ξ1，ξ2】上连续
　　∵ -2<1<2
　　∴根据连续函数中值定理，至少存在一个 ξ∈(ξ1，ξ2), 使得 f'(ξ)=1
3. x=ln(1+t^2) y=arctant
　　dx=2tdt/(1+t^2) dy=dt/(1+t^2)
　　dy/dx=1/(2t) d(dy/dx)=-dt/(2t^2)
　　d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=-(1+t^2)/(4t^3)
5. y'=2/x^2-3*(x^2-1)/x^4 y''=-10/x^3+12*(x^2-1)/x^5
　　令y'=0得 x=-√3 x=√3 令y''=0得 x=-√6 x=√6
　　单减区间：（-∞，-√3), (√3,+∞) 单增区间：（-√3，0), (0，√3)
　　极值点：x1=-√3, x2=√3 极值：y1=2-2√3/9 y2=2+2√3/9
　　凸区间： (-√6，0),(√6,+∞) 凹区间：(-∞,-√6), (0，√6)
　　拐点：(-√6,2-5√6/36),(√6,2+5√6/36)
1. 原式=lim[x-->0]x/{sin2x[√(4+x)+2]}=1/8
4. 原式=lim[x-->0]-sinxe^[-(cosx)^2]/(2x)=-1/(2e)