等差数列bn=(a1+a2+3a….an)/n

Question

(1)bn=n^2,求｛an｝
(2){bn}为等差数列，求证｛an｝也为等差数列
错了 是 （a1+a2-+a3...+an）/n

Answer 1

bn=(a1+a2+3a….an)/n=Sn/n
b1=a1
bn=n^2,a1=b1=1
sn=n^3
s(n+1)=(n+1)^3
a(n+1)=s(n+1)-sn=3n^2+3n+1=3n(n+1)+1
所以an=3n(n-1)+1 n>=2
当n=1时，a1=1；
2）
如果bn是等差数列，不妨设bn=kn+d；
则Sn=（kn+d）n
s（n+1）=（kn+k+d）（n+1）
a（n+1）=s(n+1)-sn=(kn+k+d）（n+1）-（kn+d）n
=(kn+d)+k(n+1)=2kn+(k+d)
是等差数列。
{an｝也为等差数列

Answer 2

a1+a2+a3 还是3a？ 晕 不太对吧。
证明
①
an=(a1+a2+……+an)-(a1+a2+……+an-1)
=nbn-(n-1)bn-1
=n^3-(n-1)^3
n≥1均成立

②设bn公差为d。

①.中的an=nbn-(n-1)bn-1成立

an=n(bn-1+d)-(n-1)bn-1
=bn-1+nd

同理
an+1=bn+(n+1)d

an-1=bn-2+(n-1)d (n≥2)

an-1+an+1
=bn-2+bn+2nd
=2bn-1+2nd
=2an
对任意n≥2成立，

所以an为等差数列。

Answer 3

(1)设Sn=a1+a2+3a….an
则Sn=n³
an=Sn-S(n-1)=n³-(n-1)³=3n²-3n+1
(2)设bn=kn+m
则Sn=kn²+mn
an=Sn-S(n-1)=2kn-k+m
∴an-a(n-1)=2k(常数）
即得证

Answer 4

(1)
an=(a1+a2+……+an)-(a1+a2+……+an-1)
=nbn-(n-1)bn-1
=n^3-(n-1)^3
n≥1均成立

(2)

设bn公差为d。

(1)中的an=nbn-(n-1)bn-1依然成立

an=n(bn-1+d)-(n-1)bn-1
=bn-1+nd

同理
an+1=bn+(n+1)d

an-1=bn-2+(n-1)d (n≥2)

an-1+an+1
=bn-2+bn+2nd
=2bn-1+2nd
=2an
对任意n≥2成立，

故an为等差数列。

证毕

Answer 5

(1)an=3*n^2-3*n+1
(2)不妨设bn=b1+(n-1)*d,(d为公差）则a1+a2a+...........+an=n*b1+n*(n-1)*d,an=b1+d*[n*(n-1)-(n-1)*(n-2)]=b1+2d*(n-1),(n>1),a1=b1,所以{bn}是公差为2d,首项为b1的等差数列，得证。

Answer 6

设a1+a2+a3+…+an=Sn，所以bn=Sn/n
（1）因为bn=n^2，所以Sn/n=n^2，所以Sn=n^3
所以S1=a1=1
当n>=2时：
S（n-1）=(n-1)^3
an=Sn-S(n-1)=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
因为此时符合a1=1
所以{an}为常数列：an=3n^2-3n+1
（2）因为{bn}为等差数列，所以设bn=b1+（n-1）d （b1与d为常数）
所以bn=Sn/n=b1+（n-1）d
所以Sn=b1*n+n(n-1)d
所以a1=S1=b1
当n>=2时：S（n-1）=b1*(n-1)+（n-1）（n-2）d
=b1*n-b1+n*（n-1）d-2（n-1）d
所以an=Sn-S(n-1)=b1+(n-1)*2d
且符合a1=b1
所以an=b1+(n-1)*2d
所以a（n+1）=b1+2dn
所以a（n+1）-an=2d（常数）
所以｛an｝也为等差数列